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En théorie des probabilités et en statistique, la loi marginale d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire d'une variable aléatoire à plusieurs dimensions, est la loi de probabilité d'une de ses composantes. Autrement dit, la loi marginale est une variable aléatoire obtenue par « projection » d'un vecteur contenant cette variable.

Par exemple, pour un vecteur aléatoire ( X 1 , X 2 , X 3 ) {\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3})} , la loi de la variable aléatoire X 2 {\displaystyle X_{2}} est la deuxième loi marginale du vecteur.

• Définition

• Exemples

• Loi discrète

• Loi absolument continue

• Notes et références

• Voir aussi

• Bibliographie

• Articles connexes

Pour obtenir la loi marginale d'un vecteur, on projette la loi sur l'espace unidimensionnel de la coordonnée recherchée. La loi de probabilité de la i-ème coordonnée d'un vecteur aléatoire est appelée la i-ème loi marginale. La loi marginale P i {\displaystyle \mathbb {P} _{i}} de P {\displaystyle \mathbb {P} } s'obtient par la formule :

P i ( A ) = P X i ( A ) = ∬ ∬ 1 ω ω i ∈ ∈ A P ( d ( ω ω 1 , … … , ω ω n ) ) {\displaystyle \mathbb {P} _{i}(A)=\mathbb {P} _{X_{i}}(A)=\iint {1}_{\omega _{i}\in A}\,\mathbb {P} (\mathrm {d} (\omega _{1},\dots ,\omega _{n}))} pour tout A ∈ ∈ B ( R ) {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} .

Soient X {\displaystyle X} et Y {\displaystyle Y} deux variables aléatoires de l'espace probabilisé ( Ω Ω , E , p ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {E}},p)} vers l'espace mesurable ( F , F ) {\displaystyle (F,{\mathcal {F}})} et B ∈ ∈ F {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}} .

Les lois de probabilité marginales du vecteur aléatoire Z = ( X , Y ) {\displaystyle Z=(X,Y)} sont les lois de probabilité de X {\displaystyle X} et de Y {\displaystyle Y} . On traite ici celle de X {\displaystyle X} (la méthode est la même pour celle de Y {\displaystyle Y} ). D'après le théorème des probabilités totales, elle est liée à la loi de probabilité conditionnelle :

P X ( B ) = ∫ ∫ Ω Ω P ( X − − 1 ⟨ ⟨ B ⟩ ⟩ ∩ ∩ d ω ω Y ) = ∫ ∫ F P ( X , Y ) ( B , d y ) . {\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\int _{\Omega }\mathbb {P} (X^{-1}\langle B\rangle \cap \mathrm {d} \omega _{Y})=\int _{F}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\mathrm {d} y).}

Si Y {\displaystyle Y} est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable S ⊂ ⊂ F {\displaystyle S\subset F} , alors :

P X ( B ) = ∑ ∑ y ∈ ∈ S P ( X , Y ) ( B , { y } ) . {\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{y\in S}\mathbb {P} _{(X,Y)}(B,\{y\}).}

C'est notamment le cas quand S {\displaystyle S} est fini. En notant y 1 , … … , y n {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}} ses valeurs et P X , 1 ( B ) , … … , P X , n ( B ) {\displaystyle \mathbb {P} _{X,1}(B),\dots ,\mathbb {P} _{X,n}(B)} les probabilités P X , Y ( B , { y 1 } ) , … … , P X , Y ( B , { y n } ) {\displaystyle \mathbb {P} _{X,Y}(B,\{y_{1}\}),\dots ,\mathbb {P} _{X,Y}(B,\{y_{n}\})} , la loi de probabilité devient :

P X ( B ) = ∑ ∑ i = 1 n P X , i ( B ) . {\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} _{X,i}(B).}

Le tableau suivant donne un exemple. On a marqué les probabilités que X = xi et Y = yj. La loi marginale pour X donne les probabilités que X = xi. Elle est donnée sur la dernière ligne. Par exemple, la probabilité que X = x1 est obtenue en sommant les probabilités d'avoir X = x1 et Y = y1, X = x1 et Y = y2, et X = x1 et Y = y3. Ainsi, on a 16/32 = 4/32+3/32+9/32. De même, la loi marginale pour Y est donné dans la dernière colonne.

| | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | p Y ( y ) ↓ |

|---|---|---|---|---|---|

| y 1 | 4 / 32 | 2 / 32 | 1 / 32 | 1 / 32 | 8 / 32 |

| y 2 | 3 / 32 | 6 / 32 | 3 / 32 | 3 / 32 | 15 / 32 |

| y 3 | 9 / 32 | 0 | 0 | 0 | 9 / 32 |

| p X ( x ) → | 16 / 32 | 8 / 32 | 4 / 32 | 4 / 32 | 32 / 32 |

Les lois marginales d'une loi absolument continue s'expriment à l'aide de leurs densités marginales par les formules :

f X ( x ) = ∫ ∫ R f Z ( x , y ) d y , f Y ( y ) = ∫ ∫ R f Z ( x , y ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} y,\\f_{Y}(y)&=\int _{\mathbb {R} }\ f_{Z}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}

où f Z {\displaystyle f_{Z}} est la densité de probabilité du vecteur Z {\displaystyle Z} .

De manière plus générale, si X {\displaystyle X} et Y {\displaystyle Y} sont des variables aléatoires absolument continues, de densité de probabilité conjointe f ( X , Y ) {\displaystyle f_{(X,Y)}} par rapport à une mesure σ σ {\displaystyle \sigma } -finie μ μ {\displaystyle \mu } sur ( F , F ) {\displaystyle (F,{\mathcal {F}})} , alors :

P X ( B ) = ∫ ∫ F ( ∫ ∫ B f ( X , Y ) ( x , y ) μ μ ( d x ) ) μ μ ( d y ) . {\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\int _{F}\left(\int _{B}f_{(X,Y)}(x,y)\mu (\mathrm {d} x)\right)\mu (\mathrm {d} y).}

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• le-gall2006jean-fran-ois-le-gall2006Jean-François Le Gall, Intégration, Probabilités et Processus aléatoires : cours de l'ENS, 2006, 248 p. (lire en ligne).

• Loi de probabilité

• Densité de probabilité

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